Diagramma delle scale cromatiche

Le visualizzazioni in digitale Lessico degli stati d'animo di Hans Eugen Frischknecht e Jakob Schmid consentono di evidenziare a colpo d'occhio l'"idoneità alla triade maggiore" delle scale con 12 note per ottava, rendendole al contempo udibili. Questa presentazione speciale sarà discussa di seguito con tre esempi selezionati e confrontata con altri modi di visualizzare le scale musicali. Seguiranno alcune considerazioni non sistematiche sull'ulteriore sviluppo di applicazioni interattive per i sistemi tonali e le accordature.

I diagrammi del lessico sono calcolati a partire dalle deviazioni in centesimi della scala cromatica temperata equabile in 12 semitoni (12-EDO = Equal Division of the Octave), che in questo saggio è chiamata scala temperata equabile (cromatica). Le diverse accordature possono essere confrontate tra loro utilizzando le indicazioni in centesimi. La scala dei centesimi per le altezze e gli intervalli si basa sulla divisione dell'ottava in 1200 microintervalli di uguale dimensione. I semitoni della scala cromatica equabile misurano quindi 100 centesimi, le terze maggiori 400 centesimi e le quinte 700 centesimi. La triade maggiore in posizione iniziale e in posizione più vicina ha quindi i valori in centesimi [0 | 400 | 700] se alla fondamentale viene dato il valore 0 - in generale [x | x + 400 | x + 700] se x è il valore in centesimi della fondamentale dell'accordo rispetto al tono di riferimento c (o a). Al contrario, la triade maggiore accordata (arrotondata al centesimo) ha i valori [0 | 386 | 702] ed è nella proporzione di frequenza 4 : 5 : 6. Gli accordi di toni con proporzioni di frequenza fondamentali semplici sono percepiti come ampiamente privi di fluttuazioni e consonanti se i toni coinvolti hanno ciascuno uno spettro armonico di overtone. Le figure mostrano che le deviazioni dei valori temperati uguali dai valori puri sono di soli 2 centesimi di unità per la quinta e di 14 centesimi di unità per la terza maggiore. Il diverso effetto delle due triadi è dovuto principalmente alle diverse dimensioni delle terze e al colore dei toni.

È possibile ricostruire i principi strutturali di una scala dal materiale numerico visualizzato? Questo non è evidente. Finché l'attenzione si concentra principalmente sulle triadi maggiori e sui loro equivalenti enarmonici in scale con dodici note per ottava, la visualizzazione può essere utilizzata universalmente, ma allo stesso tempo riduce i sistemi di intonazione concepiti in due e più dimensioni a una sola dimensione.

Leonhard Euler propose una scala cromatica derivata da una rete bidimensionale di altezze (Euler 1739, p. 147, 279). La sua riproduzione nella Lessico degli stati d'animo si può vedere nella Figura 1 qui sopra. I simboli dei toni fondamentali, i dodici cerchietti rossi, formano tre sequenze di quattro, ognuna delle quali si trova su tratti di retta parallela leggermente inclinati (se le due C alle estremità del diagramma vengono mentalmente accostate):
f-c-g-d / a-e-b-f-sharp / c-sharp-g-sharp-e-flat-b

La caratteristica pendenza positiva (2 centesimi per quinta) dei tratti di linea retta indica che le quinte in questione sono pure. La scala è divisa in tre gruppi di quattro note, ciascuno con tre passi di quinta pura. Questi sono incorniciati in rosso nel diagramma superiore della Figura 1 per maggiore chiarezza. Le posizioni verticali dei simboli dei toni fondamentali determinano completamente la struttura intervallare di una scala (questo vale per tutte le scale). Anche le terze o le quinte maggiori determinano completamente la scala. Anche i simboli di terza e quinta formano quindi gruppi di quattro su segmenti di linea retta leggermente inclinati in Eulero. Questa rappresentazione ridondante delle informazioni contenute nei 12 passi di semitono o di quinta permette alle triadi maggiori di emergere come configurazioni puntuali nella verticale. E grazie a questa ridondanza, si rivelano i principi di costruzione armonica di una scala.

Fig. 1: In termini di purezza triadica maggiore, l'universo delle scale a 12 toni nel lessico delle accordature presenta i due poli di Leonhard Euler (in alto) e della scala equabile (al centro). L'accordatura quasi media di Michael Praetorius (in basso) si colloca nel mezzo e riduce la preferenza di Eulero per la relazione chiave-maggiore a favore di scale maggiori quintate tra Si bemolle maggiore e La maggiore con otto triadi maggiori quasi armoniche.

La scala di Eulero contiene il numero massimo possibile di sei triadi maggiori ideali. Poiché tutti e tre i simboli tonali coincidono in Fa, Do, Sol e in La, Mi e Si, esiste un'intonazione pura [x | x + 386 | x + 702]. Grazie alla sua struttura intervallare, in questa scala è possibile eseguire musica nelle terze chiavi di Do maggiore e di La maggiore con triadi maggiori ideali senza eccezioni, e le due scale di terza sono distanti una terza maggiore perfetta nel rapporto di frequenza 5/4. Le altre dieci "chiavi maggiori" hanno tutte triadi più o meno fortemente modificate. Nella triade enfatizzata di si bemolle maggiore, ad esempio, nessuno dei tre intervalli costitutivi corrisponde allo standard dell'accordatura pura, poiché tutti e tre i simboli occupano posizioni verticali diverse. Le triadi relative alle quinte si trovano direttamente una accanto all'altra nei diagrammi. Nella scala di Eulero, le tonalità di Mi bemolle maggiore e La bemolle/G diesis maggiore si distinguono nettamente dalla struttura intervallare di Do maggiore e La maggiore, poiché nessuna delle triadi disegnate ha la forma ideale del punto (le triadi di queste due scale sono incorniciate in viola nel disegno). Focalizzando la vista su tre accordi vicini, si nota anche che Sol maggiore e Si maggiore (evidenziati con ellissi blu) hanno la stessa struttura intervallare in Eulero, perché gli schemi dei simboli corrispondenti sono congruenti. In queste due tonalità, le quinte delle triadi dominanti sono diminuite, ma le loro terze maggiori sono pure. La sottodominante e la tonica hanno la forma ideale.

La scala mostrata al centro della Figura 1 è più facile da interpretare. Qui tutte le dodici triadi hanno le stesse deviazioni dall'intonazione pura e le tre linee di simboli corrono orizzontalmente. Si tratta del temperamento equabile, i simboli delle quinte sono poco meno di 2 centesimi sotto i simboli della fondamentale (700-702=-2) e le terze maggiori 14 centesimi sopra (400-386=+14). Le quinte sono quindi solo leggermente più piccole di quelle pure, ma le terze maggiori sono notevolmente più lontane rispetto alle loro controparti accordate pure. Qualsiasi differenza di significato tra le note b e a diesis non può essere espressa acusticamente in questa costellazione. Mentre le reinterpretazioni enarmoniche nel temperamento equabile non pongono problemi di intonazione, la selezione di dodici note in un'accordatura puramente sintonica (cioè basata su quintine/terzine) come quella di Eulero comporta sempre decisioni sulle varianti enarmoniche preferite. A un esame più attento, la triade di si bemolle maggiore della scala di Eulero, un po' irritante, si rivela essere un diesis-d-f con una quarta diminuita un diesis-d e una terza pitagorica d-f, come mostra la rappresentazione della scala di Eulero nella griglia quinta-tenore della figura 2. In questa rappresentazione, le quinte pure sono le quinte più importanti. In questa rappresentazione, le quinte pure sono disposte orizzontalmente e le terze maggiori pure verticalmente, in modo che le triadi maggiori e minori ideali corrispondano a piccoli triangoli rettangoli, mentre l'insolita "triade di si maggiore" è costituita da punti d'angolo della griglia rettangolare ed è costruita in modo molto diverso dalle terze e dalle quinte.

Fig. 2: Rappresentazione a griglia della scala cromatica secondo Leonhard Euler (a sinistra) e Marin Mersenne (a destra) Vengono messe in evidenza le triadi ideali maggiore e minore di do maggiore e l'accordo di la diesis-d-f o si bemolle-d-f, che nell'opera di Mersenne è costituito da una terza maggiore pitagorica e da una quinta perfetta.

Le raffigurazioni a griglia erano già in uso nel XVII e XVIII secolo (Muzzulini 2020, 225). Non sono direttamente adatte alle accordature temperate. Tuttavia, possono essere utilizzate anche per rappresentare scale sintoniche con più di 12 note per ottava. A partire dal XIV secolo sono state proposte diverse scale con 17 o più note per ottava. Nelle scale a 17 note, le cinque coppie di note do diesis-bemolle, re diesis-bemolle, fa diesis-bemolle, sol diesis-as e la diesis-b sono tipicamente realizzate con due altezze diverse (si vedano i contributi di Martin Kirnbauer, Rudolph Rasch, Denzil Wright e Patrizio Barbieri in Annuario di Musicologia 2002). I diagrammi a reticolo - compresi quelli non rettangolari - sono ampiamente utilizzati nella letteratura teorica contemporanea sulle accordature e, con informazioni aggiuntive, possono essere utilizzati anche per visualizzare il tono medio e altre accordature (Lindley, 1987), Annuario di Musicologia, 2002; Lindley, 1993, p. 28).

A differenza della soluzione di Eulero, nella scala di Michael Praetorius (fig. 1 qui sotto) è possibile fare musica nelle tonalità tra si bemolle maggiore e la maggiore con triadi che sono tutte più vicine alla forma ideale rispetto alle loro controparti equamente temperate - a scapito delle quattro triadi rimanenti. Le modulazioni tra scale maggiori che si avvicinano a C maggiore e G maggiore nel circolo delle quinte non comportano quindi differenze significative nell'intonazione. D'altra parte, tutti i passi di quinta, con l'eccezione di sol diesis bemolle, sono più piccoli di quelli puri - e sensibilmente più piccoli rispetto alla scala equabile, poiché i simboli dei toni fondamentali formano una linea discendente verso destra. La sesta diminuita molto grande g diesis-e bemolle, che compensa le altre quinte piccole, è nota anche come quinta di lupo. La scala in centesimi sul lato sinistro dell'immagine mostra che il "lupo" di Praetorius è circa un quarto di semitono più grande della quinta di temperamento equabile, poiché la linea rossa di collegamento tra sol diesis e mi bemolle sale di circa 25 centesimi.

Fig. 3 Diagrammi circolari del XVII secolo. A sinistra: Scala diatonica con virgola sintonica ("scisma", 480 : 486 = 80 : 81). I numeri rappresentano le lunghezze delle corde (opportunamente scalate) sul monocordo. L'ottava si chiude al "Semitonium majus" (288 (576) | 540 (270)) nel rapporto 16/15. Il diagramma, disegnato in modo piuttosto impreciso, proviene dalla più antica copia sopravvissuta dell'originale ormai perduto del "Compendium musicæ" di René Descartes, realizzato per Isaak Beeckman intorno al 1628 (Descartes (1619, fol. 171r). A destra: l'analisi di Marin Mersenne di una scala cromatica in accordatura pura (Mersenne 1636, 132).

Come nella Lessico degli stati d'animo Se si considerano solo le scale ottavo-periodiche, i loro toni sono in senso stretto classi di ottava o classi di altezza. Anche le rappresentazioni circolari dei toni sono adatte a questo scopo. Il diagramma utilizzato da Frischknecht e Schmid mostra la triade di Do maggiore alle estremità sinistra e destra del diagramma. Si potrebbe anche raffigurare la triade su un guscio cilindrico, che si otterrebbe ritagliando il diagramma e incollando il bordo sinistro a quello destro. La catena di quinte forma allora una linea chiusa e la vicinanza delle tre triadi maggiori della scala di Do maggiore diventa visibile. Un trasferimento corrispondente delle stesse informazioni a un "quadrante" di cerchio di quinte, in cui i cambiamenti di intonazione sono inseriti in direzione radiale, sarebbe una rappresentazione corretta, ma anche insolita. Nelle disposizioni circolari della scala cromatica, gli intervalli sono spesso rappresentati come angoli. La virgola sintonica nel rapporto di frequenza fondamentale 81/80 misura poco meno di 22 centesimi e dovrebbe corrispondere a un angolo di poco meno di 6° nel diagramma circolare di Cartesio nella Figura 3 a sinistra. A differenza degli angoli incoerenti di questo manoscritto, gli angoli della prima stampa latina corrispondono in modo abbastanza preciso alle dimensioni degli intervalli, cfr. Muzzulini (2015, 197-199), Wardhaugh (2008). Il diagramma circolare di Mersenne nella figura 3 a destra dispone le dodici note della scala cromatica su un dodecagono quasi regolare. I collegamenti tra le note sono etichettati con i corrispondenti rapporti di frequenza. La rappresentazione a griglia nella figura 2 a destra può essere derivata da questo.

Nei display bidimensionali e interattivi convenzionali, l'asimmetria di cui sopra potrebbe essere compensata anche rendendo la disposizione degli accordi ciclicamente permutabile con la semplice pressione di un tasto. Tali permutazioni consentirebbero anche di determinare facilmente se scale diverse hanno la stessa struttura interna confrontando direttamente i diagrammi, cioè se emergono l'una dall'altra attraverso trasposizioni accurate degli intervalli se sono visualizzate sulla stessa pagina web. Una scala considerata da Isaac Newton, ad esempio, emerge da quella di Mersenne attraverso una trasposizione di quinta pura, che corrisponde a una permutazione ciclica di un'unità. Queste relazioni possono essere viste direttamente nella rappresentazione a griglia. Se immaginiamo la scala cromatica di Eulero trasposta verso il basso di una terza maggiore perfetta, tutti i dodici punti vengono spostati verso il basso di un'unità della griglia, in modo che la nuova riga inferiore contenga le note re bemolle, la bemolle, mi bemolle e si bemolle. La disposizione geometrica dei dodici punti, che rappresenta la struttura interna, non è cambiata. La forma trasposta fa apparire il Do maggiore come parte di una scala cromatica con quattro Si bemolle e un diesis, e si differenzia dalla soluzione di Mersenne (figura 2 a destra) solo per l'intonazione di una singola nota. In Mersenne, la triade di si bemolle maggiore è in intonazione pitagorica, la sua quinta è pura, la terza maggiore in rapporto 81/64 risulta da quattro quinte pure (meno due ottave).

Con un minimo sforzo di programmazione, è stato possibile calcolare cifre chiave come lo scarto quadratico medio totale delle triadi concrete rispetto alle triadi intonate, partendo dal ricco materiale numerico del lessico. Le scale separate da trasposizioni concordano nella deviazione indicata e la diversa struttura della scala può essere dedotta con certezza dalla differenza delle cifre chiave. Ciò consente di determinare in modo semiautomatico i duplicati e le scale equivalenti. La conoscenza e la visualizzazione di tali relazioni sarebbe utile per orientarsi nel vastissimo materiale numerico e visivo. James M. Barbour fornisce costantemente la deviazione media e la deviazione standard dalla scala dello stesso livello in centesimi per il suo ampio materiale numerico su scale a dodici livelli (Barber 1951). Sarebbe più opportuno valutare le deviazioni delle dodici triadi maggiori dall'intonazione pura in modo analogo (cfr. Hall 1973), nel qual caso i valori piccoli significano vicinanza all'intonazione che è al centro della ricerca. Lessico degli stati d'animo triadi in piedi, idealmente accordate.

Nell'ambito del progetto finanziato dal Fondo nazionale svizzero per la ricerca scientifica Spazio cromatico del suono dell'Università delle Arti di Zurigo erano anche strumenti audiovisivi interattivi a sintoniche (cioè accordature basate su quintine/terzi d'ottava) con arrangiamenti a griglia, a cerchio e a spirale e testate nel contesto di una museo virtuale come il lessico degli stati d'animo con suoni sintetizzati.

Solo negli ultimi anni la visualizzazione della teoria musicale e della sua storia come branca indipendente della diagrammatologia con riferimenti all'iconologia musicale è entrata sempre più nel mirino della filosofia, dell'estetica e della musicologia (Krämer 2016, 179-193). Questo saggio ha cercato di evidenziare i parallelismi tra i diagrammi storici degli armonici e le rappresentazioni contemporanee, possibili solo nel contesto della digitalizzazione e delle digital humanities. I diagrammi rivelano l'essenza delle teorie e dei concetti di modellazione e hanno un potenziale didattico che sembra fare quasi a meno delle parole. Il valore didattico della visualizzazione non è sempre stato valutato allo stesso modo nel corso della storia. Mentre la visualizzazione didattica sembrava avere un ruolo subordinato nel XVIII secolo, l'idea della permutazione ciclica di toni e armonie nelle strutture di intonazione sopra descritta ha i suoi precursori negli strumenti didattici dinamici del XVI secolo. Ad esempio, i libri elaborati di questo periodo contengono talvolta diagrammi a più livelli con parti rotanti per l'insegnamento delle conoscenze musicali elementari (cfr. Weiss, S. F., 2019).

Barbieri, P. (2002). L'evoluzione delle tastiere enarmoniche a catena aperta c1480-1650. In: Annuario di Musicologia (2002), S. 145-184

Barbour, J. M. (1951). Accordatura e temperamento. Un'indagine storica. Ristampa: East Lansing: Michigan State College Press, Da Capo Press: New York 1972

Barkowsky, J. (2007). Fonti matematiche dell'acustica musicale. Wilhelmshaven : Florian Noetzel Verlag

Cartesio, R. (1619). Compendio MusicæMs Middelburg, fol. 171r (c. 1628)

Duffin, R. W. (2007). Come il temperamento equabile ha rovinato l'armonia (e perché dovrebbe interessarvi). W. W. Norton, New York

Euler, L. (1739). Tentamen novae theoriae musicae. Pietroburgo 1739 (pp. 147, 279)

Hall, D. (1973). La misurazione oggettiva della bontà di adattamento per accordature e temperamenti. In: Journal of Music Theory, Vol. 17, n. 2, pp. 274-290. https://doi.org/10.2307/843344

Kirnbauer, M. (2002). "Si possono suonare i Madrigali del Principe" - I violini di G. B. Doni e la musica cromatico-armonica a Roma nel XVII secolo. In: Annuario di Musicologia (2002), S. 229-250. http://doi.org/10.5169/seals-835143

Krämer, S. (2016). Figuration, Anschaung, Erkenntnis - Grundlinien einer Diagrammatologie. suhrkamp paperback science 2176. 179-193

Lindley, M e Turner-Smith, R. (1993). Modelli matematici di scale musicali - Un nuovo approccio. Editore per la Musicologia Sistematica, Bonn

Lindley, M. (1987). Umore e temperatura. Storia della teoria musicale Volume 6, Ascoltare, misurare e calcolare nel primo periodo moderno, S. 109-331

Mersenne, M. (1636). Harmonie Universelle, contenant la Theorie et la Pratique de la Musique, Parigi 1636, Trattato delle Consonanze, delle Dissonanze, dei Generi, dei Modi e della Composizione, Livre Second, Des Dissonances, p.132 (ed. da P. Lesure, 3 voll., facs. p. 1965-1975)

Muzzulini, D. (2015). La geometria dei logaritmi musicali. Acta Musicologica LXXXVII/2 (2015), 193-216. https://doi.org/10.5281/zenodo.5541789

Muzzulini, D. (2017). Scale cromatiche, Scale cromatiche sintoniche. In: Spazio cromatico del suono (2017)

Muzzulini, D. (2020). L'approccio microtonale di Isaac Newton alla giusta intonazione. Rassegna di musicologia empirica, vol. 15, n. 3-4 (2020), pagg. 223-248. http://dx.doi.org/10.18061/emr.v15i3-4.7647

Praetorius, M. (1619). Syntagma musicum, vol. II, Wolfenbüttel

Rasch, R. (2002). Perché sono state costruite le tastiere enarmoniche? - Da Nicola Vicentino (1555) a Michael Bulyowsky (1699). In: Annuario di Musicologia (2002), 36-93

Annuario svizzero di musicologia (2002). Musica cromatica ed enarmonica, Neue Folge 22, a cura di Joseph Williman, Peter Lang, Berna 2003

Lo spazio del colore sonoro - Un museo virtualeUniversità delle Arti di Zurigo, 2017, https://2017.sound-colour-space.zhdk.ch

Wardhaugh, B. (2008). Logaritmi musicali nel XVII secolo: Cartesio, Mercatore, Newton. In: Historia Mathematica, volume 35, numero 1, febbraio 2008, 19-36. https://doi.org/10.1016/j.hm.2007.05.002

Weiss, S. F. (2019). Erotemata musices di Ambrosius Wilfflingseder. https://www.thinking3d.ac.uk/MusicalVolvelles/

Wright, D. (2002). Il cimbalo cromatico e altri strumenti italiani a tastiera a corde con accidentali divise. In: Annuario di Musicologia (2002), 105-136